Modul kompleksnog broja – Što je i kako ga izračunati?

Modul kompleksnog broja predstavlja jednu od temeljnih koncepata u matematici, posebno u području kompleksne analize. To je vrijednost koja određuje “udaljenost” kompleksnog broja od ishodišta u kompleksnoj ravnini.

**Modul kompleksnog broja z = x + yi definira se kao kvadratni korijen zbroja kvadrata realnog i imaginarnog dijela:

|z|

= √(x² + y²). Ova vrijednost uvijek je veća ili jednaka svojim realnom odnosno imaginarnom dijelu.**

U praktičnoj primjeni, poznavanje modula kompleksnog broja ključno je za rješavanje različitih matematičkih problema, od jednostavnih operacija s kompleksnim brojevima do složenijih zadataka u području fizike i inženjerstva. Bez razumijevanja ovog koncepta, mnogi izračuni u kompleksnoj matematici bili bi nemoguću.

Definicija modula kompleksnog broja

Matematička definicija

Modul kompleksnog broja predstavlja ključni koncept u kompleksnoj matematici. Za kompleksni broj z = a + bi, gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica, modul se definira formulom:

|z|

= √(a² + b²)

Ova formula daje uvijek nenegativnu realnu vrijednost koja opisuje apsolutnu vrijednost kompleksnog broja. Za svaki kompleksni broj z vrijedi sljedeća relacija:

|z| ≥ |Re(z)| i |z| ≥ |Im(z)|

Geometrijsko značenje

Modul kompleksnog broja z geometrijski predstavlja udaljenost točke koja odgovara tom broju od ishodišta u Gaussovoj ravnini. U kompleksnoj ravnini realni dio a prikazuje se na horizontalnoj osi, dok imaginarni dio b zauzima vertikalnu os.

Točka z(a,b) u ravnini određuje vektor koji polazi iz ishodišta koordinatnog sustava. Duljina tog vektora jednaka je modulu kompleksnog broja z.

Veza s Pitagorinim poučkom

Formula za modul kompleksnog broja izravna je primjena Pitagorinog poučka u kompleksnoj ravnini. Realni dio a predstavlja katetu na realnoj osi, dok imaginarni dio b čini katetu na imaginarnoj osi.

Hipotenuza pravokutnog trokuta, čija je duljina

|z|

, računa se prema formuli:

|z|
= √(a² + b²)

Ova veza između Pitagorinog poučka i modula kompleksnog broja pokazuje duboku povezanost između geometrije i kompleksne analize.

Formula za izračun modula

Formula za izračun modula kompleksnog broja predstavlja matematički izraz koji definira udaljenost kompleksnog broja od ishodišta u kompleksnoj ravnini.

Algebarski Oblik

Modul kompleksnog broja z = a + bi u algebarskom obliku izračunava se formulom

|z|

= √(a² + b²).

Primjer izračuna:

Kompleksni broj	Izračun	Modul
3 + 4i	√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25	5
1 + i	√(1² + 1²) = √2	1.414

Za svaki kompleksni broj z = a + bi vrijedi:

• Modul je uvijek nenegativan realan broj
• Modul nule iznosi nula:

|0|

= 0

• Modul umnoška jednak je umnošku modula:

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

Trigonometrijski Oblik

Trigonometrijski zapis kompleksnog broja glasi z = r(cos θ + i sin θ), gdje je r modul kompleksnog broja.

Veza između algebarskog i trigonometrijskog oblika:

• r =

|z|

= √(a² + b²)

• cos θ = a/r
• sin θ = b/r

Za izračun modula u trigonometrijskom obliku koriste se formule:

Funkcija	Formula
Modul	r =
Argument	θ = arctan(b/a)

Praktična Primjena Formule

Modul kompleksnog broja nalazi primjenu u brojnim područjima matematike i fizike:

Elektrotehnika:

• Izračun impedancije električnih krugova
• Određivanje amplitude električnih signala
• Analiza prijenosnih funkcija

Fizika:

• Računanje amplituda valnih funkcija
• Određivanje intenziteta elektromagnetskog polja
• Izračun kvantnih vjerojatnosti

Operacija	Pravilo
Množenje
Dijeljenje
Potenciranje

Svojstva modula kompleksnog broja

Modul kompleksnog broja posjeduje nekoliko ključnih svojstava koja omogućuju jednostavnije računanje s kompleksnim brojevima. Ova svojstva čine temelj za razumijevanje operacija s kompleksnim brojevima.

Nenegativnost

Modul kompleksnog broja z = a + bi uvijek daje nenegativnu realnu vrijednost. Matematički se ovo svojstvo izražava kao

|z|

= √(a² + b²) ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi.

Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da:

• Kvadrati realnih brojeva (a² i b²) su uvijek nenegativni
• Zbroj nenegativnih brojeva ostaje nenegativan
• Kvadratni korijen nenegativnog broja daje nenegativnu vrijednost

Modul umnoška

Za bilo koja dva kompleksna broja z₁ i z₂ vrijedi

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

. Ovo fundamentalno svojstvo pojednostavljuje množenje kompleksnih brojeva.

Dokaz ovog svojstva temelji se na:

• Kvadriranju obje strane jednakosti
• Primjeni svojstva konjugirano kompleksnih brojeva
• Algebarskom sređivanju izraza

Modul količnika

Za dva kompleksna broja z₁ i z₂, gdje z₂ ≠ 0, vrijedi

|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

. Ovo svojstvo omogućuje jednostavnije dijeljenje kompleksnih brojeva.

Dokaz se izvodi:

• Množenjem brojnika i nazivnika s konjugatom nazivnika
• Primjenom svojstva modula umnoška
• Algebarskim transformacijama

Nejednakost trokuta

Za bilo koja dva kompleksna broja z₁ i z₂ vrijedi

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

. Ova nejednakost ima geometrijsku interpretaciju u kompleksnoj ravnini.

Dodatne varijacije nejednakosti trokuta:

|z₁ – z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

|z₁ + z₂| ≥ |

|z₁| – |z₂||

|z₁ – z₂| ≥ |

|z₁| – |z₂||

Geometrijska interpretacija pokazuje da duljina treće stranice trokuta ne može biti veća od zbroja duljina preostale dvije stranice.

Geometrijska interpretacija

Geometrijska interpretacija modula kompleksnog broja pruža vizualni uvid u njegovo značenje. Ova interpretacija povezuje algebarske formule s geometrijskim konceptima u kompleksnoj ravnini.

Udaljenost od ishodišta

Modul kompleksnog broja z = a + bi predstavlja udaljenost točke (a,b) od ishodišta (0,0) u kompleksnoj ravnini. Ova udaljenost izračunava se pomoću formule

|z|

= √(a² + b²), što proizlazi iz Pitagorinog poučka.

Komponenta	Značenje	Položaj
a	Realni dio	x-os
b	Imaginarni dio	y-os
	z

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutni trokut nastao projekcijama točke (a,b) na koordinatne osi dobiva se direktna veza između algebarske formule i geometrijske interpretacije.

Prikaz u kompleksnoj ravnini

Kompleksni broj vizualizira se kao vektor u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Realna komponenta predstavlja pomak po x-osi, dok imaginarna komponenta određuje pomak po y-osi.

Karakteristične točke u kompleksnoj ravnini:

• Ishodište (0,0) predstavlja nulu
• Točka (1,0) predstavlja jedinicu
• Točka (0,1) predstavlja imaginarnu jedinicu i

Duljina vektora od ishodišta do točke (a,b) jednaka je modulu kompleksnog broja. Ovaj vektor tvori pravokutni trokut s projekcijama na koordinatne osi.

Veza s polarnim koordinatama

Polarni oblik kompleksnog broja povezuje modul s polarnim koordinatama. Kompleksni broj može se zapisati kao z = r(cos φ + i sin φ), gdje je r modul broja.

Veza između kartezijevih i polarnih koordinata:

• r =

|z|

= √(a² + b²)

• cos φ = a/r
• sin φ = b/r

Polarni zapis omogućuje jednostavnije množenje kompleksnih brojeva jer se moduli množe, a argumenti zbrajaju. Ova povezanost demonstrira elegantnu vezu između trigonometrije i kompleksnih brojeva.

Primjena modula

Modul kompleksnog broja ima široku primjenu u različitim matematičkim operacijama. Njegova upotreba omogućava jednostavnije računanje s kompleksnim brojevima.

U trigonometrijskom zapisu

Trigonometrijski zapis kompleksnog broja koristi modul za određivanje intenziteta kompleksnog broja. Kompleksni broj se zapisuje kao:

z = r(cos θ + i sin θ)

gdje je:

• r = modul kompleksnog broja
• θ = argument kompleksnog broja

U ovom obliku modul predstavlja udaljenost točke od ishodišta u polarnom koordinatnom sustavu. Veza između algebarskog i trigonometrijskog zapisa izražava se formulom:

r = 
|z|= √(x² + y²)

Kod potenciranja

Potenciranje kompleksnih brojeva pojednostavljuje se korištenjem modula u trigonometrijskom zapisu. Za kompleksni broj z = r(cos θ + i sin θ) vrijedi:

z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ)

Modul n-te potencije kompleksnog broja jednak je n-toj potenciji modula polaznog broja:

Operacija	Formula
Potenciranje

Kod korjenovanja

Korjenovanje kompleksnih brojeva zahtijeva poznavanje modula izvornog broja. Za n-ti korijen kompleksnog broja z vrijedi:

√z = r^(1/n)(cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))

gdje je:

• k = 0, 1, 2, …, n-1
• r = modul kompleksnog broja

U De Moivreovoj formuli

De Moivreova formula povezuje modul s trigonometrijskim funkcijama pri potenciranju. Formula glasi:

(r(cos θ + i sin θ))^n = r^n(cos(nθ) + i sin(nθ))

Ova formula omogućava:

• Jednostavno računanje potencija kompleksnih brojeva
• Izračun trigonometrijskih funkcija višekratnih kutova
• Rješavanje algebarskih jednadžbi

Za praktičnu primjenu formule ključno je pravilno određivanje modula početnog kompleksnog broja.

Veza s konjugirano kompleksnim brojevima

Konjugirano kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u računanju modula kompleksnog broja. Njihova međusobna veza omogućuje jednostavnije izvođenje matematičkih operacija s kompleksnim brojevima.

Definicija konjugirano kompleksnih brojeva

Konjugirano kompleksni broj nastaje promjenom predznaka imaginarnog dijela izvornog kompleksnog broja. Za kompleksni broj z = x + yi, njegov konjugirano kompleksni broj označava se s z̄ = x – yi.

Svojstva konjugirano kompleksnih brojeva uključuju:

• Dvostruko konjugiranje vraća originalni broj (z̄̄ = z)
• Zbroj broja i njegovog konjugata daje dvostruki realni dio (z + z̄ = 2x)
• Razlika broja i njegovog konjugata daje dvostruki imaginarni dio (z – z̄ = 2yi)

Umnožak s konjugiranim brojem

Umnožak kompleksnog broja s njegovim konjugatom daje kvadrat modula tog broja. Matematički se to zapisuje kao:

z · z̄ = (x + yi)(x – yi) = x² + y² =

|z|

²

Ova formula pokazuje direktnu vezu između:

• Modula kompleksnog broja
• Umnoška broja s njegovim konjugatom
• Zbroja kvadrata realnog i imaginarnog dijela

Primjena u dijeljenju

Dijeljenje kompleksnih brojeva pojednostavljuje se pomoću konjugirano kompleksnih brojeva. Postupak uključuje:

1. Proširenje razlomka konjugatom nazivnika
2. Množenje brojnika i nazivnika istim brojem
3. Dobivanje realnog broja u nazivniku

Formula za dijeljenje:

z₁/z₂ = (z₁·z̄₂)/(z₂·z̄₂) = z₁·z̄₂/
|z₂|²

Operacija	Izraz
Početni razlomak	(2 + 3i)/(3 + 4i)
Nakon proširenja	((2 + 3i)(3 – 4i))/((3 + 4i)(3 – 4i))
Konačni rezultat	(18 + i)/25

Praktični zadaci

Praktični zadaci demonstriraju primjenu modula kompleksnog broja u različitim situacijama kroz konkretne primjere i stvarne primjene.

Osnovni Primjeri

Izračun modula kompleksnog broja z = 3 + 4i:

|z|
= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Najčešći tipovi zadataka:

• Izračun modula broja z = a + bi
• Određivanje realnog dijela kad je poznat modul
• Usporedba modula različitih kompleksnih brojeva

Tablični prikaz osnovnih primjera:

Kompleksni broj	Realni dio	Imaginarni dio	Modul
3 + 4i	3	4	5
1 + i	1	1	√2
5	5	0	5

Složeniji Zadaci

Rješavanje složenijih zadataka uključuje:

• Određivanje modula umnoška kompleksnih brojeva
• Izračun modula količnika
• Primjenu trigonometrijskog oblika

Primjer složenog zadatka:

Za kompleksni broj z = 2 + 3i odrediti:

|z|
² = (2)² + (3)² = 13
|z|= √13

Konjugirani kompleksni brojevi:

• z = x + yi
• z̄ = x – yi

|z| = |z̄|

Primjena u Fizici

Modul kompleksnog broja nalazi primjenu u:

• Kvantnoj mehanici za izračun vjerojatnosti
• Valnoj optici kod amplitude valova
• Mehanici kod vektorskih veličina

Primjeri iz fizike:

Valna funkcija: ψ(x,t) = Ae^(ikx-iωt)
Vjerojatnost: P = 
|ψ|²

Primjena u Elektrotehnici

Modul kompleksnog broja koristi se za:

• Izračun impedancije strujnog kruga
• Određivanje snage izmjenične struje
• Analizu frekvencijskog odziva

|Z|

 = √(R² + X²)
I = 

|V|/|Z|
P = 

|V|
|I|

 cos φ