Modul kompleksnog broja predstavlja jednu od temeljnih koncepata u matematici, posebno u području kompleksne analize. To je vrijednost koja određuje “udaljenost” kompleksnog broja od ishodišta u kompleksnoj ravnini.
**Modul kompleksnog broja z = x + yi definira se kao kvadratni korijen zbroja kvadrata realnog i imaginarnog dijela:
|z|
= √(x² + y²). Ova vrijednost uvijek je veća ili jednaka svojim realnom odnosno imaginarnom dijelu.**
U praktičnoj primjeni, poznavanje modula kompleksnog broja ključno je za rješavanje različitih matematičkih problema, od jednostavnih operacija s kompleksnim brojevima do složenijih zadataka u području fizike i inženjerstva. Bez razumijevanja ovog koncepta, mnogi izračuni u kompleksnoj matematici bili bi nemoguću.
Definicija modula kompleksnog broja
Matematička definicija
Modul kompleksnog broja predstavlja ključni koncept u kompleksnoj matematici. Za kompleksni broj z = a + bi, gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica, modul se definira formulom:
|z|
= √(a² + b²)
Ova formula daje uvijek nenegativnu realnu vrijednost koja opisuje apsolutnu vrijednost kompleksnog broja. Za svaki kompleksni broj z vrijedi sljedeća relacija:
|z| ≥ |Re(z)| i |z| ≥ |Im(z)|
Geometrijsko značenje
Modul kompleksnog broja z geometrijski predstavlja udaljenost točke koja odgovara tom broju od ishodišta u Gaussovoj ravnini. U kompleksnoj ravnini realni dio a prikazuje se na horizontalnoj osi, dok imaginarni dio b zauzima vertikalnu os.
Točka z(a,b) u ravnini određuje vektor koji polazi iz ishodišta koordinatnog sustava. Duljina tog vektora jednaka je modulu kompleksnog broja z.
Veza s Pitagorinim poučkom
Formula za modul kompleksnog broja izravna je primjena Pitagorinog poučka u kompleksnoj ravnini. Realni dio a predstavlja katetu na realnoj osi, dok imaginarni dio b čini katetu na imaginarnoj osi.
Hipotenuza pravokutnog trokuta, čija je duljina
|z|
, računa se prema formuli:
|z|
= √(a² + b²)Ova veza između Pitagorinog poučka i modula kompleksnog broja pokazuje duboku povezanost između geometrije i kompleksne analize.
Formula za izračun modula
Formula za izračun modula kompleksnog broja predstavlja matematički izraz koji definira udaljenost kompleksnog broja od ishodišta u kompleksnoj ravnini.
Algebarski Oblik
Modul kompleksnog broja z = a + bi u algebarskom obliku izračunava se formulom
|z|
= √(a² + b²).
Primjer izračuna:
| Kompleksni broj | Izračun | Modul |
|---|---|---|
| 3 + 4i | √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 | 5 |
| 1 + i | √(1² + 1²) = √2 | 1.414 |
Za svaki kompleksni broj z = a + bi vrijedi:
- Modul je uvijek nenegativan realan broj
- Modul nule iznosi nula:
|0|
= 0
- Modul umnoška jednak je umnošku modula:
|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
Trigonometrijski Oblik
Trigonometrijski zapis kompleksnog broja glasi z = r(cos θ + i sin θ), gdje je r modul kompleksnog broja.
Veza između algebarskog i trigonometrijskog oblika:
- r =
|z|
= √(a² + b²)
- cos θ = a/r
- sin θ = b/r
Za izračun modula u trigonometrijskom obliku koriste se formule:
| Funkcija | Formula |
|---|---|
| Modul | r = |
| Argument | θ = arctan(b/a) |
Praktična Primjena Formule
Modul kompleksnog broja nalazi primjenu u brojnim područjima matematike i fizike:
Elektrotehnika:
- Izračun impedancije električnih krugova
- Određivanje amplitude električnih signala
- Analiza prijenosnih funkcija
Fizika:
- Računanje amplituda valnih funkcija
- Određivanje intenziteta elektromagnetskog polja
- Izračun kvantnih vjerojatnosti
| Operacija | Pravilo |
|---|---|
| Množenje | |
| Dijeljenje | |
| Potenciranje |
Svojstva modula kompleksnog broja
Modul kompleksnog broja posjeduje nekoliko ključnih svojstava koja omogućuju jednostavnije računanje s kompleksnim brojevima. Ova svojstva čine temelj za razumijevanje operacija s kompleksnim brojevima.
Nenegativnost
Modul kompleksnog broja z = a + bi uvijek daje nenegativnu realnu vrijednost. Matematički se ovo svojstvo izražava kao
|z|
= √(a² + b²) ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi.
Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da:
- Kvadrati realnih brojeva (a² i b²) su uvijek nenegativni
- Zbroj nenegativnih brojeva ostaje nenegativan
- Kvadratni korijen nenegativnog broja daje nenegativnu vrijednost
Modul umnoška
Za bilo koja dva kompleksna broja z₁ i z₂ vrijedi
|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
. Ovo fundamentalno svojstvo pojednostavljuje množenje kompleksnih brojeva.
Dokaz ovog svojstva temelji se na:
- Kvadriranju obje strane jednakosti
- Primjeni svojstva konjugirano kompleksnih brojeva
- Algebarskom sređivanju izraza
Modul količnika
Za dva kompleksna broja z₁ i z₂, gdje z₂ ≠ 0, vrijedi
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|
. Ovo svojstvo omogućuje jednostavnije dijeljenje kompleksnih brojeva.
Dokaz se izvodi:
- Množenjem brojnika i nazivnika s konjugatom nazivnika
- Primjenom svojstva modula umnoška
- Algebarskim transformacijama
Nejednakost trokuta
Za bilo koja dva kompleksna broja z₁ i z₂ vrijedi
|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
. Ova nejednakost ima geometrijsku interpretaciju u kompleksnoj ravnini.
Dodatne varijacije nejednakosti trokuta:
|z₁ – z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
|z₁ + z₂| ≥ |
|z₁| – |z₂||
|z₁ – z₂| ≥ |
|z₁| – |z₂||
Geometrijska interpretacija pokazuje da duljina treće stranice trokuta ne može biti veća od zbroja duljina preostale dvije stranice.
Geometrijska interpretacija
Geometrijska interpretacija modula kompleksnog broja pruža vizualni uvid u njegovo značenje. Ova interpretacija povezuje algebarske formule s geometrijskim konceptima u kompleksnoj ravnini.
Udaljenost od ishodišta
Modul kompleksnog broja z = a + bi predstavlja udaljenost točke (a,b) od ishodišta (0,0) u kompleksnoj ravnini. Ova udaljenost izračunava se pomoću formule
|z|
= √(a² + b²), što proizlazi iz Pitagorinog poučka.
| Komponenta | Značenje | Položaj |
|---|---|---|
| a | Realni dio | x-os |
| b | Imaginarni dio | y-os |
| z |
Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutni trokut nastao projekcijama točke (a,b) na koordinatne osi dobiva se direktna veza između algebarske formule i geometrijske interpretacije.
Prikaz u kompleksnoj ravnini
Kompleksni broj vizualizira se kao vektor u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Realna komponenta predstavlja pomak po x-osi, dok imaginarna komponenta određuje pomak po y-osi.
Karakteristične točke u kompleksnoj ravnini:
- Ishodište (0,0) predstavlja nulu
- Točka (1,0) predstavlja jedinicu
- Točka (0,1) predstavlja imaginarnu jedinicu i
Duljina vektora od ishodišta do točke (a,b) jednaka je modulu kompleksnog broja. Ovaj vektor tvori pravokutni trokut s projekcijama na koordinatne osi.
Veza s polarnim koordinatama
Polarni oblik kompleksnog broja povezuje modul s polarnim koordinatama. Kompleksni broj može se zapisati kao z = r(cos φ + i sin φ), gdje je r modul broja.
Veza između kartezijevih i polarnih koordinata:
- r =
|z|
= √(a² + b²)
- cos φ = a/r
- sin φ = b/r
Polarni zapis omogućuje jednostavnije množenje kompleksnih brojeva jer se moduli množe, a argumenti zbrajaju. Ova povezanost demonstrira elegantnu vezu između trigonometrije i kompleksnih brojeva.
Primjena modula
Modul kompleksnog broja ima široku primjenu u različitim matematičkim operacijama. Njegova upotreba omogućava jednostavnije računanje s kompleksnim brojevima.
U trigonometrijskom zapisu
Trigonometrijski zapis kompleksnog broja koristi modul za određivanje intenziteta kompleksnog broja. Kompleksni broj se zapisuje kao:
z = r(cos θ + i sin θ)gdje je:
- r = modul kompleksnog broja
- θ = argument kompleksnog broja
U ovom obliku modul predstavlja udaljenost točke od ishodišta u polarnom koordinatnom sustavu. Veza između algebarskog i trigonometrijskog zapisa izražava se formulom:
r =
|z|= √(x² + y²)Kod potenciranja
Potenciranje kompleksnih brojeva pojednostavljuje se korištenjem modula u trigonometrijskom zapisu. Za kompleksni broj z = r(cos θ + i sin θ) vrijedi:
z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ)Modul n-te potencije kompleksnog broja jednak je n-toj potenciji modula polaznog broja:
| Operacija | Formula |
|---|---|
| Potenciranje |
Kod korjenovanja
Korjenovanje kompleksnih brojeva zahtijeva poznavanje modula izvornog broja. Za n-ti korijen kompleksnog broja z vrijedi:
√z = r^(1/n)(cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))gdje je:
- k = 0, 1, 2, …, n-1
- r = modul kompleksnog broja
U De Moivreovoj formuli
De Moivreova formula povezuje modul s trigonometrijskim funkcijama pri potenciranju. Formula glasi:
(r(cos θ + i sin θ))^n = r^n(cos(nθ) + i sin(nθ))Ova formula omogućava:
- Jednostavno računanje potencija kompleksnih brojeva
- Izračun trigonometrijskih funkcija višekratnih kutova
- Rješavanje algebarskih jednadžbi
Za praktičnu primjenu formule ključno je pravilno određivanje modula početnog kompleksnog broja.
Veza s konjugirano kompleksnim brojevima
Konjugirano kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u računanju modula kompleksnog broja. Njihova međusobna veza omogućuje jednostavnije izvođenje matematičkih operacija s kompleksnim brojevima.
Definicija konjugirano kompleksnih brojeva
Konjugirano kompleksni broj nastaje promjenom predznaka imaginarnog dijela izvornog kompleksnog broja. Za kompleksni broj z = x + yi, njegov konjugirano kompleksni broj označava se s z̄ = x – yi.
Svojstva konjugirano kompleksnih brojeva uključuju:
- Dvostruko konjugiranje vraća originalni broj (z̄̄ = z)
- Zbroj broja i njegovog konjugata daje dvostruki realni dio (z + z̄ = 2x)
- Razlika broja i njegovog konjugata daje dvostruki imaginarni dio (z – z̄ = 2yi)
Umnožak s konjugiranim brojem
Umnožak kompleksnog broja s njegovim konjugatom daje kvadrat modula tog broja. Matematički se to zapisuje kao:
z · z̄ = (x + yi)(x – yi) = x² + y² =
|z|
²
Ova formula pokazuje direktnu vezu između:
- Modula kompleksnog broja
- Umnoška broja s njegovim konjugatom
- Zbroja kvadrata realnog i imaginarnog dijela
Primjena u dijeljenju
Dijeljenje kompleksnih brojeva pojednostavljuje se pomoću konjugirano kompleksnih brojeva. Postupak uključuje:
- Proširenje razlomka konjugatom nazivnika
- Množenje brojnika i nazivnika istim brojem
- Dobivanje realnog broja u nazivniku
Formula za dijeljenje:
z₁/z₂ = (z₁·z̄₂)/(z₂·z̄₂) = z₁·z̄₂/
|z₂|²| Operacija | Izraz |
|---|---|
| Početni razlomak | (2 + 3i)/(3 + 4i) |
| Nakon proširenja | ((2 + 3i)(3 – 4i))/((3 + 4i)(3 – 4i)) |
| Konačni rezultat | (18 + i)/25 |
Praktični zadaci
Praktični zadaci demonstriraju primjenu modula kompleksnog broja u različitim situacijama kroz konkretne primjere i stvarne primjene.
Osnovni Primjeri
Izračun modula kompleksnog broja z = 3 + 4i:
|z|
= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5Najčešći tipovi zadataka:
- Izračun modula broja z = a + bi
- Određivanje realnog dijela kad je poznat modul
- Usporedba modula različitih kompleksnih brojeva
Tablični prikaz osnovnih primjera:
| Kompleksni broj | Realni dio | Imaginarni dio | Modul |
|---|---|---|---|
| 3 + 4i | 3 | 4 | 5 |
| 1 + i | 1 | 1 | √2 |
| 5 | 5 | 0 | 5 |
Složeniji Zadaci
Rješavanje složenijih zadataka uključuje:
- Određivanje modula umnoška kompleksnih brojeva
- Izračun modula količnika
- Primjenu trigonometrijskog oblika
Primjer složenog zadatka:
Za kompleksni broj z = 2 + 3i odrediti:
|z|
² = (2)² + (3)² = 13
|z|= √13Konjugirani kompleksni brojevi:
- z = x + yi
- z̄ = x – yi
|z| = |z̄|
Primjena u Fizici
Modul kompleksnog broja nalazi primjenu u:
- Kvantnoj mehanici za izračun vjerojatnosti
- Valnoj optici kod amplitude valova
- Mehanici kod vektorskih veličina
Primjeri iz fizike:
Valna funkcija: ψ(x,t) = Ae^(ikx-iωt)
Vjerojatnost: P =
|ψ|²Primjena u Elektrotehnici
Modul kompleksnog broja koristi se za:
- Izračun impedancije strujnog kruga
- Određivanje snage izmjenične struje
- Analizu frekvencijskog odziva
|Z|
= √(R² + X²)
I =
|V|/|Z|
P =
|V|
|I|
cos φ